Campo magnetico prodotto da fili percorsi da corrente

Nel 1819 un esperimento di Hans Christian Oersted dimostrò che un filo, percorso da cariche, esercita una forza su un ago magnetico nelle sue vicinanze, quindi genera un campo magnetico.
In questo tipo di campo magnetico i due poli non sono sempre evidenti, possiamo però individuarli mediante un ago magnetizzato: esso si disporrà con i suoi poli orientati verso i poli opposti del campo.
Possiamo individuare tre principali casi di campo magnetico filo percorso da corrente.

Attorno ad un filo rettilineo

Troviamo che l'aghetto si posiziona sempre tangente alla circonferenza che ha per centro il filo e raggio la distanza dell'ago. Le linee di forza sono quindi circolari. Il verso si ottiene con la regola della mano destra: immaginiamo di avvolgere il filo con la mano destra, con il pollice che punta nella direzione della corrente, il verso delle linee di forza seguirà le nostre dita.

Al centro di una spira

Al centro della spira il campo magnetico ha direzione perpendicolare al piano individuato dalla spira. Il verso è indicato dal pollice destro, quando le altre dita seguono il verso della corrente.
In zone periferiche, abbastanza vicine al filo da poterlo considerare rettilineo, il campo magnetico segue le regole usate per il filo rettilineo.
Complessivamente questo campo magnetico è simile a quello generato da un magnete.

All'interno di un solenoide

Un solenoide è formato da una serie di avvolgimenti ad elica di un filo conduttore. La direzione è perpendicolare al piano di una qualsiasi spira, e il verso, come prima, è individuato dal pollice destro se le altre dita seguono il verso della corrente in una qualsiasi spira.

Più il solenoide è lungo, più il campo magnetico da esso generato è uniforme.
Questo campo magnetico è ancora più simile e quello di un magnete.

Principio di equivalenza di Ampère

Un tempo questi due casi (magnete e filo conduttore) erano considerati diversi e indipendenti.

Ampère dimostrò che in realtà questi due fenomeni erano riconducibili e seguivano le stesse leggi.

Riprendiamo i casi già studiati.

Campo magnetico prodotto da un filo rettilineo percorso da corrente continua

Legge di BIOT-SAVART

Consideriamo un circuito percorso da una corrente stazionaria I. Il tratto che prenderemo in esame è supposto rettilineo, molto lungo e di sezione trascurabile (filo rettilineo indefinito). Supponiamo di esplorare lo spazio intorno a
tale filo con un ago magnetico, a distanze dal filo molto piccole rispetto alla sua lunghezza.

Tale operazione fu eseguita per la prima volta da Biot e Savart ed il risultato delle loro misure si può riassumere nella
seguente espressione per il campo B:

dove d è la distanza del punto P dal filo; La costante m0, detta permeabilità magnetica del vuoto vale:

le sue unita' di misura sono m0=[Bd/I]=Tm/A

La direzione del campo B è nel piano della circonferenza con centro sul filo e passante per P e risulta ad essa tangente. Per determinare il verso si può usare la regola della mano destra: se si pone il pollice nella direzione della corrente, e le dita nella direzione del punto P, quando si chiude la mano, le dita della mano destra indicheranno il verso del campo:

Riassumendo:

Una corrente elettrica presente all'interno del filo genera un campo magnetico in cui B risulta essere direttamente proporzionale all'intensità della corrente e inversamente proporzionale alla distanza dal filo.
Le linee del campo sono circonferenze e i due poli sono sempre presenti accoppiati su ciascuna linea.

Spira immersa in un campo magnetico

Vediamo ora l'effetto di un campo magnetico esterno su un circuito chiuso percorso da corrente e interamente immerso in esso.

Un circuito chiuso è formato da un filo conduttore avvolto in modo da delimitare una superficie chiusa: esso è caratterizzato dal valore della corrente i che scorre nel filo, dal verso della corrente, dalla superficie A racchiusa e dal numero N degli avvolgimenti (o spire) del filo.

E' utile, a questo punto, definire una nuova grandezza vettoriale che permette di descrivere in modo semplice il comportamento del circuito nel campo magnetico.

Si chiama momento di dipolo magnetico μ un vettore perpendicolare al piano delle spire, diretto dalla parte in cui si vede la corrente circolare in verso antiorario. Il modulo vale:

μ = N i A

L'unità di misura del momento magnetico è A m².

Considera una spira di forma rettangolare di lati a e b, percorsa da una corrente i e immersa in un campo magnetico B uniforme.

Immagina che la spira sia disposta in modo che il momento di dipolo sia allineato con il campo magnetico esterno.

Le linee di campo, quindi, attraversano perpendicolarmente la spira. Come agisce la forza magnetica sui lati a e b e sull'intera spira?

Tutti i lati della spira sono perpendicolari al campo e quindi essi sono sottoposti ad una forza magnetica massima.

Sui lati a agiscono due forze opposte di modulo Fa = i a B, sui lati b altre due forze opposte di modulo Fb = i b B.

Queste due coppie agiscono lungo la stessa retta d'azione e tendono ad allargare (o a comprimere) la spira. Se la spira è rigida, non hanno alcun effetto su di essa: la spira rimane in equilibrio nel campo.

Possiamo dire che la posizione di equilibrio della spira è quella in cui è massimo il flusso di campo magnetico attraverso la spira.

E' una posizione di equilibrio stabile? Che cosa succede alterando questa posizione?

Immaginiamo ora che la spira sia inclinata in modo che il momento di dipolo formi un angolo α diverso da 0 con il campo magnetico. Che cosa cambia?

La spira è rettangolare, di lati a e b e di area A. Essa è percorsa da una corrente i ed è immersa in un campo magnetico B, in modo che il momento di dipolo μ formi un angolo α con le linee di campo.

Sui lati b della spira agisce una coppia di forze, ognuna di modulo
Fb = i b B

La distanza tra le due rette d'azione (braccio della coppia) vale a sen α

Il momento meccanico di una coppia di forze è un vettore di modulo τ uguale al prodotto forza x braccio, quindi:

τ = i b B a sen α = i A B sen α

Per una spira con un avvolgimento (N = 1), il prodotto i A è l'intensità del momento di dipolo magnetico μ

τ = μ B sen α

Il momento meccanico è diretto perpendicolarmente al piano di rotazione della spira, verso dalla parte da cui si vede la rotazione antioraria (nel nostro caso entra nel piano della pagina).

Il momento meccanico iniziale diminuisce mentre la spira ruota fino ad annullarsi nella posizione di equilibrio (in cui il braccio della coppia è zero).

Spire e magneti

In generale, una spira di qualsiasi forma percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico esterno tende a ruotare allineando il proprio momento di dipolo magnetico con il campo.

Il comportamento della spira è analogo a quello di un aghetto di bussola: anche esso tende a ruotare per allinearsi con le linee di campo.
Un ago di bussola è semplicemente un piccolo magnete rettilineo o a barra.

A tutti e due questi oggetti diversi può essere associato un momento di dipolo magnetico.

spira percorsa da corrente	magnete a barra
Il momento di dipolo μ è perpendicolare al piano della spira ed è legato al valore i della corrente, al numero N degli avvolgimenti ed all'area A racchiusa. Il modulo vale: μ = N i A	Il momento di dipolo μ è un vettore che ha la direzione del magnete e verso uscente dal polo Nord (e quindi da Sud a Nord all'interno del magnete)

Il comportamento di spire e magneti in un campo magnetico si può allora esprimere in termini di momento di dipolo magnetico:

Un magnete rettilineo oppure una spira percorsa da corrente immersi in un campo magnetico esterno e liberi di muoversi tendono a disporsi nella posizione in cui il momento di dipolo magnetico è orientato parallelamente e concordemente con il campo magnetico esterno.

Legge di Ampère

Riassumiamo brevemente le interazioni viste sinora tra magneti e correnti.

1. Oersted scoprì che non solo un magnete naturale, ma anche una corrente produce un campo magnetico nello spazio circostante;
2. Se un circuito (o parte di esso) viene immerso in un campo magnetico pre-esistente (non il proprio!), esso subisce una forza magnetica: un filo rettilineo si sposta, una spira ruota, orientandosi come un aghetto magnetico.

Possiamo dire che, come i magneti naturali, anche le correnti generano dei propri campi magnetici (intrinseci) e, a loro volta, subiscono l'influenza di campi esterni. La situazione è analoga a quanto visto per l'elettricità: una carica elettrica produce un proprio campo elettrostatico nello spazio circostante e, se viene immersa in un campo elettrico esterno, subisce una forza elettrica. Così come il campo elettrostatico funge da intermediario per le interazioni tra cariche elettriche, il campo magnetico è un intermediario per le interazioni tra magneti, tra magneti e correnti e, come vedremo, tra correnti.

Nel 1820, subito dopo la scoperta sperimentale di Oersted, il fisico francese Andrè Marie Ampère (1775 - 1836) iniziò una serie di esperimenti per approfondire le connessioni tra elettricità e magnetismo. Egli descrisse i suoi risultati, nello stesso anno, negli Annales de Chimie et de Physique e più tardi, nel Mémoire sur la théorie mathématique des phénomènes électrodynamiques completato nel 1827. Le conclusioni sperimentali di Ampère furono le seguenti:

1. Le correnti elettriche esercitano forze sui magneti;
2. I magneti esercitano forze sulle correnti elettriche;
3. Le correnti interagiscono tra loro.

Ampère formulò un principio di equivalenza tra correnti e magneti:

Un circuito percorso da corrente si comporta come un magnete.

Egli ipotizzò inoltre che le proprietà di in un magnete naturale derivassero dalla presenza di correnti microscopiche al suo interno. La domanda da porsi è questa: che relazione esiste tra la corrente ed il campo magnetico da essa prodotto? Dato un circuito comunque complicato, come prevedere l'andamento del campo magnetico nello spazio circostante?

Per quanto riguarda il campo elettrico, la relazione tra le cariche sorgenti del campo elettrico ed il campo stesso è data dalla legge di Gauss che fa parte delle 4 equazioni fondamentali di Maxwell e che permette di prevedere l'andamento del campo elettrostatico data una distribuzione di cariche nello spazio. Ricordiamo la legge di Gauss:

Legge di Gauss	In simboli	Alcune importanti conseguenze
Il flusso elettrico attraverso una superficie gaussiana è proporzionale alla somma algebrica delle cariche interne alla superficie		Espressione del campo radiale creato da una carica singola; Forza di Coulomb tra cariche; Espressione del campo all'interno di un condensatore; Capacità di un condensatore.

Ampère formulò una legge analoga che pone in relazione una distribuzione di correnti nello spazio ed il campo magnetico da esse prodotto. Essa vale per correnti stazionarie (che non variano nel tempo). Se per la legge di Gauss si deve far ricorso al concetto di flusso elettrico, per la legge di Ampère abbiamo bisogno della circuitazione del campo magnetico. Flusso e circuitazione sono infatti le due grandezze che descrivono efficacemente le proprietà generali di un campo di forze.

Circuitazione di campo magnetico.

1. Si considera un immaginario percorso chiuso all'interno di un campo magnetico e si sceglie un verso di percorrenza (Il percorso non è una linea del campo, nè un circuito!);
2. Si suddivide il percorso in elementi infinitesimi dl;
3. Per ogni elemento si calcola il prodotto scalare B . dl (infinitesimo) tra il vettore locale B ed il vettore dl;
4. Si sommano tutti gli infinitesimi: la quantità scalare ottenuta è la circuitazione C (B) del campo B lungo il percorso. Essa ha dimensioni fisiche [campo magnetico * lunghezza] e si misura in T m

La somma così descritta è una somma integrale e si calcola con i metodi dell'analisi infinitesimale. Non dobbiamo preoccuparci di questo: se il campo magnetico è stato generato da circuiti percorsi da corrente, la legge di Ampère permette di calcolare immediatamente il valore della circuitazione semplicemente osservando la disposizione spaziale delle correnti.

Ci interessano solo le correnti concatenate con il percorso, cioè quelle che attraversano la superficie delimitata dal percorso chiuso (è importante che il percorso sia chiuso!)

Legge di Ampère	In simboli	Alcune importanti conseguenze
La circuitazione C (B) del campo magnetico lungo un qualsiasi percorso chiuso è proporzionale alla somma algebrica delle correnti concatenate al percorso.		Espressione del campo magnetico creato da un conduttore rettilineo; Espressione del campo magnetico creato da un conduttore avvolto a spirale; ...

La costante μ0 e' la permeabilità magnetica del vuoto e vale: μ0 = 4p 10^-7 Tm/A

Il ruolo della permeabilità magnetica è analogo a quello della costante dielettrica ε0 del vuoto: essa è legata alle proprietà magnetiche del vuoto, come la costante dielettrica è legata alle proprietà elettriche. I materiali ferromagnetici sono caratterizzati da valori della permeabilità molto alti rispetto a quella del vuoto.

Nel disegno i1 e i2 rappresentano correnti che escono dal piano della pagina, i3 e i4 correnti che entrano nella pagina. Se abbiamo scelto un verso di percorrenza antiorario, le correnti che escono dalla pagina sono considerate positive, le altre negative (con un verso orario i segni delle correnti cambiano). Nel nostro caso le correnti concatenate sono i1, i2e i3. Le correnti non concatenate al percorso non influiscono sulla circuitazione.

Maxwell sistemò la legge di Ampère tra quelle fondamentali dell'elettromagnetismo, anche se ne ampliò il significato, come vedremo quando studieremo i campi non stazionari. Per il momento osserviamo che, a differenza di quanto avviene per il campo elettrostatico che ha circuitazione sempre nulla, la circuitazione di campo magnetico dipende dal percorso e dalle correnti con esso concatenate: il campo magnetico non è conservativo.

In condizioni di particolare simmetria delle correnti (stazionarie), la legge di Ampère permette di determinare facilmente l'andamento del campo magnetico creato dalle correnti.

Campo magnetico in una bobina

Campo magnetico all'interno di una spira percorsa da corrente, visualizzato con limatura di ferro.

La spira percorsa da corrente è perpendicolare al piano della pagina: le linee di campo magnetico hanno senso antiorario intorno al capo da cui la corrente esce dalla pagina e orario dove la corrente entra.

All'interno della spira le linee di campo sono tutte concordi ed il campo magnetico risulta rafforzato.

La spira si comporta come una lamina magnetica con il polo Nord sulla faccia da cui escono le linee di forza.

Il campo magnetico si rafforza ancora di più in presenza di molti avvolgimenti, come accade nel caso di una bobina o solenoide percorso da corrente.

Solenoide

Un solenoide è un filo avvolto a spirale, le cui caratteristiche geometriche sono la lunghezza L e il numero di spire N. Il rapporto n = N/L si chiama densità lineare delle spire.

 

Se il solenoide è molto lungo, il passaggio di corrente nelle sue spire crea un campo magnetico abbastanza uniforme (linee paralleli ed equidistanti) all'interno e un campo praticamente nullo all'esterno.

Per determinare il valore del campo magnetico all'interno di un solenoide si utilizza la legge di Ampère.

Immaginiamo un percorso chiuso rettangolare di lati a e b con uno dei due lati a immerso dentro il solenoide parallelamente alle linee di campo, ed il lato opposto esterno al solenoide.

Se si considera la circuitazione di campo magnetico lungo tale percorso, l'unico lato che contribuisce con un termine non nullo è il lato a all'interno della bobina, perché i due lati b sono perpendicolari al campo e il lato esterno si trova in un campo magnetico praticamente nullo.

La circuitazione lungo il percorso rettangolare vale quindi
C (B) = B L
dove B è il valore del campo all'interno del solenoide.

La legge di Ampère collega la circuitazione alla sommatoria delle correnti concatenate al percorso:

Se la bobina e' formata da N spire allora

Poiché le spire hanno densità lineare n, la somma delle correnti concatenate (tutte concordi) sarà n a i.

Si ha quindi:
C (B) = B a = μ0N i

Pertanto il campo magnetico all'interno di un solenoide infinitamente lungo, con una densità di spire n e percorso da corrente i ha modulo:

B = μ0 N i/L

 

La bobina si comporta esattamente come un magnete a barra di lunghezza L con il polo Nord all'estremità da cui escono le linee di campo ed il polo Sud all'altra.

Si noti che le linee di campo magnetico sono sempre linee chiuse e sono dirette dal polo Nord al polo Sud all'esterno della bobina (o del magnente) e dal polo Sud al polo Nord all'interno della bobina (o del magnete).

Per visualizzare i due poli si usa ancora una volta la mano destra: se le dita avvolgono il solenoide nel verso della corrente, il pollice indica il polo Nord.

Come abbiam visto, la bobina è dotata di un momento di dipolo magnetico μ di modulo
μ = N i A (con A sezione del solenoide).

N.B. Il momento di dipolo magnetico è diretto dal polo Sud verso il polo Nord all'interno della bobina concordemente con il verso delle linee di campo magnetico.

Per il solenoide possiamo quindi dire:

In prima approssimazione ipotizziamo ugualmente che il campo magnetico rilevato sia uniforme all'interno del solenoide e nullo all'esterno.

Riassumendo:

Forze tra correnti

Ogni corrente crea un proprio campo magnetico ed è influenzata da un campo magnetico esterno.

Cosa può succedere se accostiamo due fili paralleli percorsi da corrente?

Il primo conduttore, percorso da corrente i1, produce nello spazio circostante un campo magnetico B1. Il secondo conduttore, percorso da corrente i2, produce nello spazio circostante un secondo campo B2.

Se avviciniamo i due conduttori ad una distanza d, in modo che essi siano paralleli per una lunghezza L, ognuno di essi sentirà l'azione del campo creato dall'altro.

Il primo conduttore verrà sottoposto ad una forza magnetica di intensità:
F12 = i1 L B2
con B2 = μ0 i2 / 2 π d (legge di Biot Savart)

Analogamente il secondo verrà sottoposto ad una forza magnetica di intensità:
F21 = i2 L B1
con B1 = μ0 i1 / 2 π d (legge di Biot Savart)

Le due forze costituiscono una coppia di azione e reazione, ed hanno, infatti, la stessa intensità F = F12 = F21.
In definitiva:

F = μ0 i1 i2 L / 2 π d
Due fili paralleli percorsi da corrente interagiscono con una coppia di forze (azione e reazione) di intensità proporzionale alle correnti, alla lunghezza dei conduttori e inversamente proporzionale alla loro distanza.

Con la regola della mano destra si trova che le forze di interazione sono attrattive se le due correnti sono concordi, repulsive se discordi.

Passa il mouse sull'immagine qui accanto.

La forza di attrazione/repulsione tra correnti ricorda quella di attrazione/repulsione tra cariche elettriche: in ambedue i casi il campo è un intermediario dell'interazione. Il concetto di campo di forze sostituisce quello di azione a distanza: un corpo subisce una forza (elettrica, magnetica…) se è immerso in un campo (elettrico, magnetico ..) creato da un secondo corpo.