Esercizio 1

Una sbarretta metallica, di massa, ${\displaystyle m=1\ kg}$, scivola senza attrito su due lunghe guide parallele e conduttrici, poste a distanza ${\displaystyle l=1\ m}$ l'una dall'altra. Esse sono collegate ad una delle estremità per mezzo di una resistenza ${\displaystyle R=10\ \Omega }$ (La resistenza della sbarretta e delle guide è trascurabile rispetto a ${\displaystyle R\ }$) Un campo uniforme di induzione magnetica ${\displaystyle |B|=1\ T}$ è applicato perpendicolarmente al piano della figura. All'istante ${\displaystyle t=0\ }$, la sbarretta di massa ${\displaystyle m\ }$ viene lanciata con una velocità di ${\displaystyle v_{o}=10\ m/s\ }$ verso destra.

Determinare: 

a) L'andamento della velocità in funzione del tempo. 

b) L'andamento nel tempo della corrente che scorre nel circuito 

c) Dimostrare come l'energia dissipata per effetto Joule sia in totale pari alla energia cinetica iniziale della sbarretta.

SOLUZIONE

Il movimento della sbarretta nel campo magnetico determina una variazione del flusso concatenato al circuito. Quindi si genera una forza elettromotrice pari a, (non occupandosi ancora dei segni):

${\displaystyle |f.e.m.|={\frac {d\phi }{dt}}=|B|{\frac {dS}{dt}}\ }$

dove ${\displaystyle S\ }$ è la superficie istantanea del circuito, quindi ${\displaystyle S=lx\ }$ (scelta come origine di ${\displaystyle x\ }$ la posizione al tempo ${\displaystyle t=0\ }$ della sbarretta). Per cui:

${\displaystyle f.e.m.=Bl{\frac {dx}{dt}}=Blv_{x}\ }$

Tale ${\displaystyle f.e.m.\ }$ provoca una corrente ${\displaystyle I\ }$ il cui verso è tale da opporsi alla causa che la genera, cioè opporrà una forza resistente la cui direzione è determinata proprio da tale condizione. La forza risultante sulla sbarretta è:

${\displaystyle F_{x}=-IBl\ }$

Il verso della corrente è quindi nel disegno antiroario. Il problema dinamico è unidimensionale a questo punto e la II equazione della dinamica è:

${\displaystyle m{\frac {dv_{x}}{dt}}=-IBl\ }$

Mentre per la maglia:

${\displaystyle f.e.m=RI\ }$

${\displaystyle Blv_{x}=RI\ }$

${\displaystyle I={\frac {Blv_{x}}{R}}\ }$

Sostituita nell'equazione della dinamica:

${\displaystyle m{\frac {dv_{x}}{dt}}=-{\frac {B^{2}l^{2}v_{x}}{R}}\ }$

Cioè un moto viscoso, che corrisponde ad una velocità che diminuisce esponenzialmente nel tempo:

${\displaystyle v_{x}=v_{o}e^{-B^{2}l^{2}t/mR}\ }$

Quindi con una costante di tempo pari a:

${\displaystyle \tau ={\frac {mR}{B^{2}l^{2}}}=10\ s}$ ( i freni dei treni sono ottenuti avvicinando dei grossi magneti alle ruote conduttrici e le correnti indotte provocano un frenamento dolce proporzionale in tale caso alla velocità angolare istantanea delle ruote, ma con un meccanismo simile a quello descritto qui).

b)

La corrente ovviamente ha lo stesso andamento esponenziale nel tempo:

${\displaystyle I={\frac {Blv_{o}}{R}}e^{-B^{2}l^{2}t/mR}\ }$

c)

L'energia cinetica iniziale vale:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=50\ J}$

L'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza vale:

${\displaystyle E_{d}=\int _{0}^{\infty }I^{2}Rdt=\int _{0}^{\infty }{\frac {B^{2}l^{2}v_{o}^{2}}{R}}e^{-2B^{2}l^{2}t/mR}={\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=50\ J}$