Esercizio 2

Due sbarrette conduttrici, ciascuna di resistenza ${\displaystyle R=0.1\ \Omega \ }$ e massa ${\displaystyle m=100\ g\ }$, poggiano senza attrito su due binari orizzontali di resistenza trascurabile. La distanza tra i binari è ${\displaystyle \ell =0.8\ m}$. Il sistema é immerso in un campo magnetico uniforme ${\displaystyle B=0.7\ T\ }$, entrante nel piano della figura. La barretta 1 si muove con velocità costante ${\displaystyle v_{1}=8\ m/s\ }$, mentre nell'istante iniziale la barretta 2 è ferma. 
Determinare 
a) l'intensità iniziale della corrente circolante ; 
b) la forza agente sulla sbarretta 2 nell'istante iniziale ; 
c) l'equazione della velocità della sbarretta ${\displaystyle 2\ }$ in funzione del tempo ed in particolare al tempo ${\displaystyle t_{1}=0.1\ s\ }$ ; 
d) l'intensità della corrente che circola nel circuito dopo un tempo molto lungo.

Soluzione

a)

Il flusso concatenato alla superficie tra le sbarrette vale:

${\displaystyle \phi =B\ell (x_{1}-x_{2})\ }$

Quindi, all'istante iniziale:

${\displaystyle f_{o}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}=B\ell v_{1}\ }$

La corrente circolante iniziale (in senso anti-orario) vale:

${\displaystyle i_{o}={\frac {f}{2R}}=22.4\ A\ }$

b)

La forza agente sulla sbarretta 2 in ${\displaystyle t=0\ }$ è rivolta verso destra e vale:

${\displaystyle F_{2}=B\ell i_{o}=12.54\ N\ }$

c)

L'equazione del moto della sbarretta ${\displaystyle 2\ }$ è:

${\displaystyle m{\frac {dv_{2}}{dt}}=iB\ell \ }$

Con ${\displaystyle i\ }$ circolante in senso anti-orario e quindi propulsiva, la corrente vale:

${\displaystyle i={\frac {B\ell (v_{1}-v_{2})}{2R}}\ }$

quindi:

${\displaystyle m{\frac {dv_{2}}{dt}}={\frac {B^{2}\ell ^{2}}{2R}}(v_{1}-v_{2})\ }$

Separando le variabili:

${\displaystyle {\frac {dv_{2}}{v_{2}-v_{1}}}=-{\frac {dt}{\tau }}\ }$

con:

${\displaystyle \tau ={\frac {2Rm}{B^{2}\ell ^{2}}}=0.064\ s\ }$

${\displaystyle \int _{0}^{v_{2}(t)}{\frac {dv_{2}}{v_{2}-v_{1}}}=-\int _{0}^{t}{\frac {dt'}{\tau }}\ }$

La velocità della sbarretta ${\displaystyle 2\ }$ dopo ${\displaystyle t_{1}\ }$ è diventata:

${\displaystyle v_{2}(t_{1})=6.33\ m/s\ }$

d)

A regime le due barrette si muovono con la stessa velocità, quindi la variazione di flusso è nulla e così pure la corrente.